Тригонометрия Примеры

$\sin (π x + (\frac{1}{6} \cdot π)) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$π x + \frac{1}{6} \cdot π = \arcsin (1)$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \arcsin (1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$π x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$π x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$π x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Этап 4.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$π x = \frac{2 π}{6}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$π x = \frac{2 (π)}{6}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$π x = \frac{π}{3}$

Этап 5

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{3}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{3}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$π x + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 7.1.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Этап 7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $\frac{π}{6}$ из обеих частей уравнения.

$π x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$π x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$π x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Этап 7.2.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$π x = \frac{2 π}{6}$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$π x = \frac{2 (π)}{6}$

Этап 7.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$π x = \frac{π}{3}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{3}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $π x = \frac{π}{3}$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 7.3.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 7.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 8

Найдем период $\sin (π x + \frac{1}{6} \cdot π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 8.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 8.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9

Период функции $\sin (π x + \frac{1}{6} \cdot π)$ равен $2$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{1}{3} + 2 n$ , для любого целого $n$