Тригонометрия Примеры

$\sin (9 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$9 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$9 x = - \frac{π}{3}$

Этап 3

Разделим каждый член $9 x = - \frac{π}{3}$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $9 x = - \frac{π}{3}$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 3.3.2

Умножим $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{9 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $9$ на $3$ .

$x = - \frac{π}{27}$

Этап 4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$9 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$9 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 5.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$9 x = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $9 x = \frac{4 π}{3}$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $9 x = \frac{4 π}{3}$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{1}{9}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 9}$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $3$ на $9$ .

$x = \frac{4 π}{27}$

Этап 6

Найдем период $\sin (9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $9$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 9 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $9$ равно $9$ .

$\frac{2 π}{9}$

Этап 7

Добавим $\frac{2 π}{9}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{2 π}{9}$ к $- \frac{π}{27}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{27} + \frac{2 π}{9}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{27}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{2 π}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{π}{27}$

Этап 7.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{27} - \frac{π}{27}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{27}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{27}$

Этап 7.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{27}$

Этап 7.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{27}$

Этап 8

Период функции $\sin (9 x)$ равен $\frac{2 π}{9}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{9}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{27} + \frac{2 π n}{9}, \frac{5 π}{27} + \frac{2 π n}{9}$ , для любого целого $n$