Тригонометрия Примеры

$\sin (x) + \cot (x) \cos (x) = \sqrt{3}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Этап 1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 4

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$1 = \sin (x) \sqrt{3}$

Этап 7

Перепишем уравнение в виде $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ .

$\sin (x) \sqrt{3} = 1$

Этап 8

Разделим каждый член $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Этап 11

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Этап 12

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Этап 12.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Этап 12.3

Вычтем $0.6154797$ из $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Этап 13

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , для любого целого $n$