Тригонометрия Примеры

$\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (9 - x)) = \ln (20)$

Этап 1.2

Развернем $(1 - x) (9 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (1 (9 - x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $9$ на $1$ .

$\ln (9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\ln (9 - x - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\ln (9 - x - 9 x - x (- x)) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (9 - x - 9 x + 1 x^{2}) = \ln (20)$

Этап 1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (9 - x - 9 x + x^{2}) = \ln (20)$

Этап 1.3.2

Вычтем $9 x$ из $- x$ .

$\ln (9 - 10 x + x^{2}) = \ln (20)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$9 - 10 x + x^{2} = 20$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$9 - 10 x + x^{2} - 20 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $20$ из $9$ .

$- 10 x + x^{2} - 11 = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$- 10 u + u^{2} - 11 = 0$

Этап 3.3.2

Разложим $- 10 u + u^{2} - 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 11$ , а сумма — $- 10$ .

$- 11, 1$

Этап 3.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 11) (u + 1) = 0$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 11) (x + 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 11$ к $0$ .

$x - 11 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$x = 11$

Этап 3.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 11) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 11, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$ истинным.

$x = - 1$