Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{11}{20} x + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{11}{20}$ и $x$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = - \frac{π}{6}$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{π}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} - \frac{π}{12}$

Этап 4.2

Чтобы записать $- \frac{π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Этап 4.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π \cdot 2 - π}{12}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 2 π - π}{12}$

Этап 4.5.2

Вычтем $π$ из $- 2 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{- 3 π}{12}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $- 3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{12}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 (4)}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x}{20} = \frac{3 (- π)}{3 \cdot 4}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11 x}{20} = \frac{- π}{4}$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{11 x}{20} = - \frac{π}{4}$

Этап 5

Умножим обе части уравнения на $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Этап 6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Этап 6.1.1.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x$ .

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Этап 6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Этап 6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $\frac{20}{11} (- \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Этап 6.2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Этап 6.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{- π}{4}$

Этап 6.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5}{11} (- π)$

Этап 6.2.1.2

Объединим $\frac{5}{11}$ и $π$ .

$x = - \frac{5 π}{11}$

Этап 7

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 8

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 8.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$\frac{11 x}{20} + \frac{π}{12} = \frac{7 π}{6}$

Этап 8.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вычтем $\frac{π}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.2

Чтобы записать $\frac{7 π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 8.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 x}{20} = \frac{7 π \cdot 2 - π}{12}$

Этап 8.3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{14 π - π}{12}$

Этап 8.3.1.5.2

Вычтем $π$ из $14 π$ .

$\frac{11 x}{20} = \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{20}{11}$ .

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Упростим $\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{11} \cdot \frac{11 x}{20} = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x$ .

$\frac{1}{11} (11 (x)) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{11} (11 x) = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Упростим $\frac{20}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{4 (5)}{11} \cdot \frac{13 π}{12}$

Этап 8.3.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \cdot 5}{11} \cdot \frac{13 π}{4 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5}{11} \cdot \frac{13 π}{3}$

Этап 8.3.3.2.1.2

Умножим $\frac{5}{11}$ на $\frac{13 π}{3}$ .

$x = \frac{5 (13 π)}{11 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1.3.1

Умножим $13$ на $5$ .

$x = \frac{65 π}{11 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2.1.3.2

Умножим $11$ на $3$ .

$x = \frac{65 π}{33}$

Этап 9

Найдем период $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $\frac{11}{20}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{11}{20} |}$

Этап 9.3

$\frac{11}{20}$ приблизительно равно $0.55$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{11}{20}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{20}{11}$

Этап 9.5

Умножим $2 π \frac{20}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Объединим $\frac{20}{11}$ и $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{11} π$

Этап 9.5.2

Умножим $20$ на $2$ .

$\frac{40}{11} π$

Этап 9.5.3

Объединим $\frac{40}{11}$ и $π$ .

$\frac{40 π}{11}$

Этап 10

Добавим $\frac{40 π}{11}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{40 π}{11}$ к $- \frac{5 π}{11}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{5 π}{11} + \frac{40 π}{11}$

Этап 10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{40 π - 5 π}{11}$

Этап 10.3

Вычтем $5 π$ из $40 π$ .

$\frac{35 π}{11}$

Этап 10.4

Перечислим новые углы.

$x = \frac{35 π}{11}$

Этап 11

Период функции $\sin (\frac{11}{20} x + \frac{π}{12})$ равен $\frac{40 π}{11}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{40 π}{11}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{65 π}{33} + \frac{40 π n}{11}, \frac{35 π}{11} + \frac{40 π n}{11}$ , для любого целого $n$