Тригонометрия Примеры

$\tan (2 x) + \sqrt{3} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$2 x = - \frac{π}{3}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 5

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 8

Добавим $\frac{π}{2}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + \frac{π}{2}$

Этап 8.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Этап 8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Этап 8.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Этап 8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{6}$

Этап 8.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{6}$

Этап 8.6

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Этап 8.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 8.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 8.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3}$

Этап 8.7

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 9

Период функции $\tan (2 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$