Тригонометрия Примеры

$4 \sin^{2} (x) = 5 - 4 \cos (x)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = - 4 \cos (x)$

Этап 1.2

Добавим $4 \cos (x)$ к обеим частям уравнения.

$4 \sin^{2} (x) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Этап 2

Заменим $4 \sin^{2} (x)$ на $4 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 + 4 \cos (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $5$ из $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 + 4 \cos (x) = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$- 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = 0$

Этап 7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u^{2} + 4 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) + 4 u - 1 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (- 4 u) - 1 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u^{2}) - (- 4 u)$ .

$- (4 u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 u^{2} - 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} - 4 u + 1) = 0$

Этап 7.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $4 u^{2}$ в виде ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} - 4 u + 1) = 0$

Этап 7.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2}) = 0$

Этап 7.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Этап 7.2.4

Перепишем многочлен.

$- ({(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 7.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 u$ и $b = 1$ .

$- {(2 u - 1)}^{2} = 0$

Этап 8

Разделим каждый член $- {(2 u - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- {(2 u - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(2 u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(2 u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.2.2

Разделим ${(2 u - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Этап 9

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 10

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 10.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 11

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 12

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 14

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 15

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 15.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 16

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 16.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 17

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$