Тригонометрия Примеры

$\cos (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x + \frac{π}{4} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π - π}{4}$

Этап 3.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$2 x = \frac{0}{4}$

Этап 3.4

Разделим $0$ на $4$ .

$2 x = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{7 π - π}{4}$

Этап 6.2.3

Вычтем $π$ из $7 π$ .

$2 x = \frac{6 π}{4}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$2 x = \frac{2 (3 π)}{4}$

Этап 6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Этап 6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\cos (2 x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Период функции $\cos (2 x + \frac{π}{4})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$