Тригонометрия Примеры

$\cos (- 2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$- 2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$- 2 x = \frac{5 π}{6}$

Этап 3

Разделим каждый член $- 2 x = \frac{5 π}{6}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 x = \frac{5 π}{6}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{- 2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{- 2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{- 2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{5 π}{6} (- \frac{1}{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $\frac{5 π}{6} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = - \frac{5 π}{12}$

Этап 4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$- 2 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- 2 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$- 2 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 5.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$- 2 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 5.1.5

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$- 2 x = \frac{7 π}{6}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 2 x = \frac{7 π}{6}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = \frac{7 π}{6}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{- 2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{- 2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{- 2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{7 π}{6} (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.3

Умножим $\frac{7 π}{6} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = - \frac{7 π}{12}$

Этап 6

Найдем период $\cos (- 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $- 2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $π$ к $- \frac{5 π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{5 π}{12} + π$

Этап 7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Этап 7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Этап 7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - 5 π}{12}$

Этап 7.4.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$\frac{7 π}{12}$

Этап 7.5

Добавим $π$ к $- \frac{7 π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{7 π}{12} + π$

Этап 7.6

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Этап 7.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Этап 7.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Этап 7.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - 7 π}{12}$

Этап 7.8.2

Вычтем $7 π$ из $12 π$ .

$\frac{5 π}{12}$

Этап 7.9

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 8

Период функции $\cos (- 2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$