Тригонометрия Примеры

$8 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 8 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$8 {(u)}^{2} + 16 (u) + 8 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 u^{2} + 16 u + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 u^{2}$ .

$8 u^{2} + 16 u + 8 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $8$ из $16 u$ .

$8 u^{2} + 8 (2 u) + 8 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$8 u^{2} + 8 (2 u) + 8 (1) = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $8$ из $8 u^{2} + 8 (2 u)$ .

$8 (u^{2} + 2 u) + 8 (1) = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (u^{2} + 2 u) + 8 (1)$ .

$8 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$8 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$8 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$8 {(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Разделим каждый член $8 {(u + 1)}^{2} = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $8 {(u + 1)}^{2} = 0$ на $8$ .

$\frac{8 {(u + 1)}^{2}}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 {(u + 1)}^{2}}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 3.2.1.2

Разделим ${(u + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{8}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 6

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - 1$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 9

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 10

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 10.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 11

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 12.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 12.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 12.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 12.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 12.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 13

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$