Тригонометрия Примеры

$\cot (\frac{x}{2}) = - 1$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$\frac{x}{2} = arccot (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{3 π}{4}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{3 π}{2 (2)}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{4}$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{4}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{7 π}{4}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (2)}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7 π}{2}$

Этап 7

Найдем период $\cot (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\cot (\frac{x}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$