Тригонометрия Примеры

$\csc (x) \tan (x) - 2 = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Изменим порядок $\csc (x)$ и $\tan (x)$ .

$\tan (x) \csc (x) - 2 = 0$

Этап 1.1.1.2

Выразим $\csc (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - 2 = 0$

Этап 1.1.1.3

Сократим общие множители.

$\frac{1}{\cos (x)} - 2 = 0$

Этап 1.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Этап 2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sec (x) = 2$

Этап 3

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (2)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$