Тригонометрия Примеры

$\cos (3 x) = \cos (x)$

Этап 1

Вычтем $\cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (3 x) - \cos (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу тройного угла для преобразования $\cos (3 x)$ в $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $\cos (x)$ из $- 3 \cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) = 0$

Этап 3

Разложим $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4 \cos (x)$ из $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $4 \cos (x)$ из $4 \cos^{3} (x)$ .

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $4 \cos (x)$ из $- 4 \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4 \cos (x)$ из $4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1$ .

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = 1$ .

$4 \cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 6.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 6.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 7.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.4

$x = 2 π - 0$

Этап 7.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 7.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$