Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (x) \sin (x) = 3 \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $3 \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\tan^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1}}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cdot 1} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.3

Разделим дроби.

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.5

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \tan^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \tan^{2} (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$\sin (x) \tan^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 3 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \tan^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 3$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\tan^{2} (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan^{2} (x) - 3$ к $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\tan^{2} (x) = 3$

Этап 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 6.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 6.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 6.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 6.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 6.2.5

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 6.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 6.2.5.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 6.2.5.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 6.2.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 6.2.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 6.2.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 6.2.5.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2.5.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.5.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.6

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 6.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.6.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 6.2.6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 6.2.6.4.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.2.6.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.6.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 6.2.6.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.2.6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.6.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 6.2.6.6.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 6.2.6.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.2.6.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.8.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{2 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$