Тригонометрия Примеры

$3 \sin^{2} (x) - 7 \sin (x) + 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$3 u^{2} + (- 1 - 6) u + 2 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 1 u - 6 u + 2 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 1 u) - 6 u + 2 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 1) - 2 (3 u - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin (x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Этап 3.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Этап 3.2.6.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Этап 3.2.6.3

Вычтем $0.3398369$ из $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Этап 3.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sin (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x) - 2$ к $0$ .

$\sin (x) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 2$

Этап 4.2.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $2$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 2) = 0$ верно.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , для любого целого $n$