Тригонометрия Примеры

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) = \tan (x) + 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) = 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Разделим дроби.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Этап 2.2.4

Разделим $2 (\sin (x))$ на $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

Этап 2.2.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 3

Разложим $2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 \sin (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

Этап 3.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\tan (x) + 1$ .

$(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 5.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (x) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$