Тригонометрия Примеры

$\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} ((x - 5) (x + 1)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(x - 5) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{7} (x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 (x + 1)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot 1 - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5 \cdot 1) = 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\log_{7} (x^{2} + x - 5 x - 5) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{7} (x^{2} - 4 x - 5) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 4 x - 5$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 4 x - 5 = 7^{1}$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 7$

Этап 3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 5 - 7 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $7$ из $- 5$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 6, - 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{7} (x - 5) + \log_{7} (x + 1) = 1$ истинным.

$x = 6$