Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (2 x) - 3 = 0$

Этап 1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\tan^{2} (2 x) = 3$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (2 x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (2 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\tan (2 x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = π + \frac{π}{3}$

Этап 5.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 5.5.1.4

Добавим $π \cdot 3$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 5.5.1.4.2

Добавим $3 \cdot π$ и $π$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 \cdot π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.6

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 5.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 5.7

Период функции $\tan (2 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\tan (2 x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$2 x = - \frac{π}{3}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 6.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 6.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 6.5.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6.5.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 6.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 6.5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 6.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 6.6

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 6.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 6.7

Добавим $\frac{π}{2}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + \frac{π}{2}$

Этап 6.7.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Этап 6.7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Этап 6.7.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Этап 6.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.7.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{6}$

Этап 6.7.6

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Этап 6.7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3}$

Этап 6.7.7

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 6.8

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ и $\frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ в $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ и $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ в $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$