Тригонометрия Примеры

$\frac{3}{x + 3} + \frac{2}{x - 4} = \frac{4}{3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 3, x - 4, 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.5

НОК $1, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 1.6

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 3, x - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (x - 4)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (x + 3) (x - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{3}{x + 3} + \frac{2}{x - 4} = \frac{4}{3}$ умножим на $3 (x + 3) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{3}{x + 3} + \frac{2}{x - 4} = \frac{4}{3}$ на $3 (x + 3) (x - 4)$ .

$\frac{3}{x + 3} (3 (x + 3) (x - 4)) + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{3}{x + 3} ((x + 3) (x - 4)) + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3 \frac{3}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{x + 3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{x + 3} ((x + 3) (x - 4)) + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9}{x + 3} ((x + 3) (x - 4)) + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{x + 3} ((x + 3) (x - 4)) + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$9 (x - 4) + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 9 \cdot - 4 + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $9$ на $- 4$ .

$9 x - 36 + \frac{2}{x - 4} (3 (x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x - 36 + 3 \frac{2}{x - 4} ((x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $3 \frac{2}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{x - 4}$ .

$9 x - 36 + \frac{3 \cdot 2}{x - 4} ((x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$9 x - 36 + \frac{6}{x - 4} ((x + 3) (x - 4)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x + 3) (x - 4)$ .

$9 x - 36 + \frac{6}{x - 4} ((x - 4) (x + 3)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$9 x - 36 + \frac{6}{x - 4} ((x - 4) (x + 3)) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$9 x - 36 + 6 (x + 3) = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x - 36 + 6 x + 6 \cdot 3 = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $6$ на $3$ .

$9 x - 36 + 6 x + 18 = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $9 x$ и $6 x$ .

$15 x - 36 + 18 = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 36$ и $18$ .

$15 x - 18 = \frac{4}{3} (3 (x + 3) (x - 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x + 3) (x - 4)$ .

$15 x - 18 = \frac{4}{3} (3 ((x + 3) (x - 4)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$15 x - 18 = \frac{4}{3} (3 ((x + 3) (x - 4)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$15 x - 18 = 4 ((x + 3) (x - 4))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 3) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x - 18 = 4 (x (x - 4) + 3 (x - 4))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x - 18 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x - 18 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4)$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$15 x - 18 = 4 (x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4)$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$15 x - 18 = 4 (x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4)$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$15 x - 18 = 4 (x^{2} - 4 x + 3 x - 12)$

Этап 2.3.3.2

Добавим $- 4 x$ и $3 x$ .

$15 x - 18 = 4 (x^{2} - x - 12)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$15 x - 18 = 4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot - 12$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$15 x - 18 = 4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 12$

Этап 2.3.5.2

Умножим $4$ на $- 12$ .

$15 x - 18 = 4 x^{2} - 4 x - 48$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 4 x - 48 = 15 x - 18$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $15 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 4 x - 48 - 15 x = - 18$

Этап 3.2.2

Вычтем $15 x$ из $- 4 x$ .

$4 x^{2} - 19 x - 48 = - 18$

Этап 3.3

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 19 x - 48 + 18 = 0$

Этап 3.4

Добавим $- 48$ и $18$ .

$4 x^{2} - 19 x - 30 = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 30 = - 120$ , а сумма — $b = - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $- 19$ из $- 19 x$ .

$4 x^{2} - 19 x - 30 = 0$

Этап 3.5.1.2

Запишем $- 19$ как $5$ плюс $- 24$

$4 x^{2} + (5 - 24) x - 30 = 0$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 5 x - 24 x - 30 = 0$

Этап 3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + 5 x) - 24 x - 30 = 0$

Этап 3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x + 5) - 6 (4 x + 5) = 0$

Этап 3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 5$ .

$(4 x + 5) (x - 6) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $4 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 5$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Этап 3.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{4}$

Этап 3.8

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 5) (x - 6) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{4}, 6$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{5}{4}, 6$

Десятичная форма:

$x = - 1.25, 6$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{4}, 6$