Тригонометрия Примеры

$\log_{b} (64) = 3$

Этап 1

Перепишем $\log_{b} (64) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 64$

Этап 2

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$b^{3} - 64 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$b^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = b$ и $b = 4$ .

$(b - 4) (b^{2} + b \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем $4$ влево от $b$ .

$(b - 4) (b^{2} + 4 b + 4^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(b - 4) (b^{2} + 4 b + 16) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$b - 4 = 0$

$b^{2} + 4 b + 16 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $b - 4$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $b - 4$ к $0$ .

$b - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$b = 4$

Этап 2.5

Приравняем $b^{2} + 4 b + 16$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $b^{2} + 4 b + 16$ к $0$ .

$b^{2} + 4 b + 16 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $b^{2} + 4 b + 16 = 0$ относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $b$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$b = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$b = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$b = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(b - 4) (b^{2} + 4 b + 16) = 0$ верно.

$b = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$