Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Этап 1

Умножим обе части на $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $e^{x} - e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Этап 3.2

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Этап 3.3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Этап 3.4.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Этап 3.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Этап 3.5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 3.5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3.5.2

Каждый член в $4 u - \frac{4}{u} = 1$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим каждый член $4 u - \frac{4}{u} = 1$ на $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Этап 3.5.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Этап 3.5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{u}$ в числитель.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Этап 3.5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Этап 3.5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Умножим $u$ на $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Этап 3.5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вычтем $u$ из обеих частей уравнения.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Этап 3.5.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.3.3

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 1$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.3.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.3.4.1.3

Добавим $1$ и $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.3.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Этап 3.5.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Этап 3.6

Подставим $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Этап 3.7

Решим $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Этап 3.7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Этап 3.7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Этап 3.7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Этап 3.7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Этап 3.8

Подставим $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Этап 3.9

Решим $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Этап 3.9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Этап 3.9.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.9.4

Нет решения для $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Нет решения

Этап 3.10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Десятичная форма:

$x = 0.12467674 \dots$