Тригонометрия Примеры

3 {sec}^{2} (x) - 4 = 0

$3 \sec^{2} (x) - 4 = 0$

Этап 1

Добавим

$4$ к обеим частям уравнения.

$3 \sec^{2} (x) = 4$

Этап 2

Разделим каждый член

$3 \sec^{2} (x) = 4$ на

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член

$3 \sec^{2} (x) = 4$ на

$3$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sec^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.2.1.2

Разделим

$\sec^{2} (x)$ на

$1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 4

Упростим

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 4.3

Умножим

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.4.2

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 4.4.3

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{3}$ в виде

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для

$x$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7

Решим относительно

$x$ в

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

$x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ :

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 7.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 7.4

Упростим

$2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Умножим

$6$ на

$2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 7.4.3.2

Вычтем

$π$ из

$12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 7.5

Найдем период

$\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции

$\sec (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 8

Решим относительно

$x$ в

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

$x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение

$arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ :

$\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 8.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

$2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 8.4

Упростим

$2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Умножим

$6$ на

$2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 8.4.3.2

Вычтем

$5 π$ из

$12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 8.5

Найдем период

$\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции

$\sec (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим

$\frac{π}{6} + 2 π n$ и

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ в

$\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 10.2

Объединим

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ и

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ в

$\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого

$n$