Тригонометрия Примеры

$2 \sin (3 x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (3 x) = - \sqrt{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \sin (3 x) = - \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \sin (3 x) = - \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sin (3 x)$ на $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$3 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 8

Найдем период $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 9

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $\frac{2 π}{3}$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Этап 9.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Этап 9.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{12}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{12}$

Этап 9.5.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{12}$

Этап 9.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 10

Период функции $\sin (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$