Тригонометрия Примеры

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

Этап 1

Заменим $- \sin^{2} (x)$ на $- (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Этап 2.3

Умножим $- - \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Этап 2.3.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Этап 3

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Этап 3.2

Добавим $0$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} = - (u)$

Этап 5

Добавим $u$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} + u = 0$

Этап 6

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Этап 6.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Этап 6.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 9

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u + 1) = 0$ верно.

$u = 0, - 1$

Этап 11

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 13.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 13.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 13.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 13.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 14.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 14.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 14.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$