Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (x) + 3 \cot (x) = - 2$

Этап 1

Заменим $\csc^{2} (x)$ на $\cot^{2} (x) + 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) + 3 \cot (x) = - 2$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\cot^{2} (x) + 3 \cot (x) + 1 = - 2$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) + 1 = - 2$

Этап 4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} + 3 u + 1 + 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u^{2} + 3 u + 3 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $12$ из $9$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Подставим $\cot (x)$ вместо $u$ .

$\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- \frac{3 - i \sqrt{3}}{2})$

Этап 11.2

The inverse cotangent of $arccot (- \frac{3 - i \sqrt{3}}{2})$ is undefined.

Неопределенные

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- \frac{3 + i \sqrt{3}}{2})$

Этап 12.2

The inverse cotangent of $arccot (- \frac{3 + i \sqrt{3}}{2})$ is undefined.

Неопределенные

Этап 13

Перечислим все решения.

Нет решения