Тригонометрия Примеры

$\sec (2 x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$

Этап 1

Умножим обе части на $2 - \sec^{2} (x)$ .

$\sec (2 x) (2 - \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $\sec (2 x) (2 - \sec^{2} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) (- \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Этап 2.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x)$ .

$2 \cdot \sec (2 x) + \sec (2 x) (- \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Этап 2.1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2 - \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.3

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Этап 3.1.1.7

Умножим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \sec^{2} (x)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) \frac{2}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\cos (2 x) \frac{2}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$2 + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 - \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $- \cos (2 x)$ .

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\cos^{2} (x) \cos (2 x)$ .

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (2 x) \cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.7.3

Сократим общий множитель.

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (2 x) \cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.7.4

Перепишем это выражение.

$2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.8

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.9

Умножим обе части на $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Упростим $(\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- 1 = ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 1 = (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2.1.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2.1.1.4

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ и $\cos (2 x)$ .

$- 1 = (\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - 2) \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2.1.2.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Этап 3.10.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x)$

Этап 3.11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$ .

$\cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Этап 3.11.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Этап 3.11.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Этап 3.11.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Упростим $- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Этап 3.11.4.1.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Этап 3.11.4.1.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$- 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Этап 3.11.4.1.2

Применим формулу Пифагора.

$- 2 \cdot 1 = - 1 - 1$

Этап 3.11.4.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 = - 1 - 1$

Этап 3.11.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.5.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2 = - 2$

Этап 3.11.6

Поскольку $- 2 = - 2$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$