Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = - 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \arctan (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{- π - π}{4}$

Этап 3.3

Вычтем $π$ из $- π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 2 π}{4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 (2)}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{2}$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 4

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = - π$

Этап 5

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - π}{4}$

Этап 6.3.1.3

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Этап 6.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 6.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 6.3.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 7

Найдем период $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2 π$ к $- π$ , чтобы найти положительный угол.

$- π + 2 π$

Этап 8.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$π$

Этап 8.3

Перечислим новые углы.

$x = π$

Этап 9

Период функции $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$