Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{\cos (x)}$ и $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.1.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 5.2.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 6

Развернем $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим противоположные члены в $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sec (x) (- \tan (x))$ и $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.1.2

Добавим $- \sec (x) \tan (x)$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.1.3

Добавим $\sec (x) \sec (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.2.1.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 7.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Этап 7.2.3

Умножим $- \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Этап 7.2.3.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Этап 7.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Этап 7.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

$1$