Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 - \cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.3

Умножим $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.3.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.3.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.3.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.4

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 + \cos^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$