Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin^{2} (4 x) = 1$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (4 x) = \pm 1$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (4 x) = 1$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (4 x) = - 1$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (4 x) = 1, - 1$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (4 x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (1)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 6.3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 6.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - \frac{π}{2}$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.5.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.5.1.4.2

Вычтем $π$ из $2 \cdot π$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 6.5.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 6.6

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.6.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 6.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 6.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 6.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 6.7

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (4 x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (- 1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2}$

Этап 7.3

Разделим каждый член $4 x = - \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $4 x = - \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 7.3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 7.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 7.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 7.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.5.3

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 7.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 7.5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 7.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.5.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Этап 7.5.3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 7.6

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.6.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 7.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 7.6.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 7.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 7.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 7.7

Добавим $\frac{π}{2}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к $- \frac{π}{8}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

Этап 7.7.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

Этап 7.7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

Этап 7.7.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 7.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

Этап 7.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

Этап 7.7.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

Этап 7.7.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 7.8

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$