Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) + \cos (2 x) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $2 \sin (x) \cos (x)$ и $0$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.6

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 6.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 6.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 6.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 6.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 6.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 6.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 6.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$