Тригонометрия Примеры

$\cos (67.5) \cos (22.5)$

Этап 1

Точное значение $\cos (67.5)$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $67.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Этап 1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Этап 2

Точное значение $\cos (22.5)$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Представим $22.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Этап 2.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Этап 2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 2.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3

Развернем $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.3

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.4

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$0.35355339 \dots$