Тригонометрия Примеры

$\cot (22.5)$

Этап 1

Представим $22.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cot (\frac{45}{2})$

Этап 2

Применим обратное тождество.

$\frac{1}{\tan (\frac{45}{2})}$

Этап 3

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Этап 4

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку котангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Этап 5

Упростим $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Этап 5.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Этап 5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Этап 5.3.3

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Этап 5.3.4

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Этап 5.3.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Этап 5.3.6

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.9

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.10

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.10.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.10.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.10.4

Запишем $- \sqrt{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.10.5

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.10.6

Умножим $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.5

Умножим $- - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Этап 5.3.12.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.12.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Этап 5.3.12.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Этап 5.3.12.8.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Этап 5.3.13

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.14

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.15

Сократим общий множитель $6 - 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.3.15.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.3.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.3.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Этап 5.3.15.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Этап 5.3.15.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Этап 5.3.15.4.4

Разделим $3 - 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Десятичная форма:

$2.41421356 \dots$