Тригонометрия Примеры

$\cot (\frac{5 π}{8})$

Этап 1

Представим $\frac{5 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cot (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

Этап 2

Применим обратное тождество.

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})}$

Этап 3

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 4

Change the $\pm$ to $-$ because cotangent is negative in the second quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5

Упростим $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.2.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}$

Этап 5.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 5.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Этап 5.4.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Этап 5.4.3

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Этап 5.4.4

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Этап 5.4.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Этап 5.4.6

Упростим.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.8.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.8.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.9

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.10

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.10.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.10.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.10.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.10.4

Запишем $\sqrt{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.10.5

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.10.6

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.12.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.12.4

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.12.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Этап 5.4.12.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.12.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Этап 5.4.12.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Этап 5.4.12.6.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Этап 5.4.13

Добавим $4$ и $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.14

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.15

Сократим общий множитель $6 + 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 5.4.15.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 5.4.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Этап 5.4.15.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Этап 5.4.15.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Этап 5.4.15.4.4

Разделим $3 + 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Десятичная форма:

$- 0.41421356 \dots$