Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1

Точное значение $\sin (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.2

Применим формулу для разности углов.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 2

Точное значение $\cos (\frac{7 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Этап 2.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Этап 2.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Этап 2.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

Этап 2.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Этап 2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Этап 2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

Этап 2.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 2.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

Этап 2.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

Этап 2.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

Этап 2.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Этап 2.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Этап 5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Этап 6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Десятичная форма:

$- 0.06698729 \dots$