Тригонометрия Примеры

$\cos (2 \arccos (x))$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Этап 2.2

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Этап 2.5.5

Упростим.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Этап 2.6

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 2.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Этап 2.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Этап 2.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Этап 2.7.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Этап 2.7.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Этап 2.7.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Этап 2.7.3

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Этап 2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Этап 2.10

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Этап 2.10.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Этап 3

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$