Тригонометрия Примеры

$\cos (4 x) - \cos (2 x)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\cos (2 (2 x)) - \cos (2 x)$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.2

Перепишем ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ в виде $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.3

Развернем $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (2 \cdot 2 {\cos (x)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2 \cos^{2} (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.6.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.2.6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - \cos (2 x)$

Этап 1.4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1)$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) - - 1$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) - - 1$

Этап 1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1$

Этап 2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2 \cos^{2} (x)$ из $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$8 \cos^{4} (x) + 1 - 10 \cos^{2} (x) + 1$

Этап 2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$