Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Этап 1.2

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Этап 1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}$

Этап 2.2

Умножим $\tan (30)$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (30)}$

Этап 2.3

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Этап 6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{6} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 (2)} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.6

Объединим $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2

Умножим $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Этап 7.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Этап 7.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Этап 7.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 7.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 7.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 7.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 7.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Этап 7.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3}{6}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $3 \sqrt{3} - 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)}{6}$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{6}$

Этап 7.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 (2)}$

Этап 7.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 2}$

Этап 7.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1)}{2}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - - 1}{2}$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}{2}$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3})}{2}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Этап 10.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 10.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 10.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Этап 10.3.4.4

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$