Тригонометрия Примеры

$\arccos (\cos (\frac{π}{8}))$

Этап 1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\arccos (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\arccos (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\arccos (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arccos (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\arccos (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\arccos (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\arccos (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\arccos (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Этап 5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Этап 5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Этап 5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Десятичная форма:

$0.39269908 \dots$