Тригонометрия Примеры

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \csc (x)$

Этап 2.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 2.3

Умножим $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $2$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{2}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Упростим каждый член.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Добавим $- {\cos (x)}^{2}$ и $2 {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

Этап 8

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + \cot (x)$

Этап 8.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

Этап 8.3

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 10

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 10.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 10.2.2

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 11

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 12

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$ — тождество