Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)} = \tan (x) + \tan (y)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Этап 3

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\tan (x) + \tan (y)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (y)$

Этап 5.2

Запишем $\tan (y)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Этап 6

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \cos (y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (y) \cos (x)}$

Этап 6.3.3

Изменим порядок множителей в $\cos (y) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)} = \tan (x) + \tan (y)$ — тождество