Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.2

Развернем $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (\cos (x) + 1) - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.3

Объединим противоположные члены в $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (x) \cdot 1$ и $- 1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.3.2

Вычтем $1 \cos (x)$ из $1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 0 - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.3.3

Добавим $\cos (x) \cos (x)$ и $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.4.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.5

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.9

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.10

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.5.11

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Этап 2.6

Разделим $0$ на $\sin (x) (\cos (x) + 1)$ .

$0$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$ — тождество