Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$

Этап 2

Умножим $\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$ на $\frac{- \tan (x) + \sec (x) + 1}{- \tan (x) + \sec (x) + 1}$ .

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} \cdot \frac{- \tan (x) + \sec (x) + 1}{- \tan (x) + \sec (x) + 1}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{(\tan (x) + \sec (x) - 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\tan (x) + \sec (x) - 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\tan (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\tan (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- ({\tan (x)}^{1} \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- ({\tan (x)}^{1} {\tan (x)}^{1}) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.3

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1} \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1} {\sec (x)}^{1} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.4

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.5

Умножим $- 1 (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + 1 \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.6

Перепишем $- 1 \sec (x)$ в виде $- \sec (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.3

Добавим $\sec (x) \tan (x)$ и $\sec (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Изменим порядок $\sec (x)$ и $- 1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x) \tan (x) + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.3.2

Вычтем $\sec (x) \tan (x)$ из $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 0 + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.4

Добавим $- {\tan (x)}^{2}$ и $0$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.5

Добавим $\tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 2 \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.6

Вычтем $\sec (x)$ из $\sec (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 2 \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + 0 - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 4.7

Добавим $- {\tan (x)}^{2}$ и $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{\tan (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\tan (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- ({\tan (x)}^{1} \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- ({\tan (x)}^{1} {\tan (x)}^{1}) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Умножим $- \sec (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + 1 \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.4

Умножим $- \sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - ({\sec (x)}^{1} \sec (x)) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - ({\sec (x)}^{1} {\sec (x)}^{1}) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.6

Умножим $- \tan (x)$ на $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.7

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2.8

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1}$

Этап 5.3

Добавим $\sec (x) \tan (x)$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1}$

Этап 5.4

Вычтем $\tan (x)$ из $\tan (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) + 0 - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + \sec (x) + 1}$

Этап 5.5

Добавим $- {\tan (x)}^{2}$ и $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + \sec (x) + 1}$

Этап 5.6

Добавим $- \sec (x)$ и $\sec (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} + 0 + 1}$

Этап 5.7

Добавим $- {\tan (x)}^{2}$ и $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Этап 6.2

Изменим порядок $- \tan^{2} (x)$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Этап 6.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x)) + 1}$

Этап 6.5

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Этап 6.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Этап 6.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1 + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Этап 6.8.2

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Этап 6.8.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Этап 6.8.4

Добавим $0$ и $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Этап 6.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вычтем $\tan^{2} (x)$ из $- \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan^{2} (x)}$

Этап 6.9.2

Вынесем множитель $2 \tan (x)$ из $2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Вынесем множитель $2 \tan (x)$ из $2 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan^{2} (x)}$

Этап 6.9.2.2

Вынесем множитель $2 \tan (x)$ из $- 2 \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- \tan (x))}$

Этап 6.9.2.3

Вынесем множитель $2 \tan (x)$ из $2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- \tan (x))$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Этап 6.9.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}$

Этап 6.9.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6.9.5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6.9.6

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6.10

Сократим общий множитель $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 8

Умножим $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ на $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 9

Объединим.

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 10.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Развернем $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Этап 11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Этап 11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

Этап 11.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Этап 12

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 13.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 13.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 14

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\tan (x) + \sec (x)$

Этап 15

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Этап 15.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x)}$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 18

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$ — тождество