Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{{\tan (x)}^{3} - 1^{3}}{\tan (x) - 1}$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = \tan (x)$ и $b = 1$ .

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) \cdot 1 + 1^{2})}{\tan (x) - 1}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) + 1^{2})}{\tan (x) - 1}$

Этап 2.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) + 1)}{\tan (x) - 1}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $\tan (x) - 1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Этап 3

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $1$ .

$\tan^{2} (x) + 1 + \tan (x)$

Этап 3.2

Применим формулу Пифагора.

$\sec^{2} (x) + \tan (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \sec^{2} (x) + \tan (x)$ — тождество