Тригонометрия Примеры

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)} = \cot (t) + \tan (t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\tan^{2} (t) + 1}{\tan (t)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\tan (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} + 1}{\tan (t)}$

Этап 3.2

Запишем $\tan (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} + 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} + 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} + 1) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{{\sin (t)}^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)} + 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ на $1$ .

$\frac{{\sin (t)}^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 5

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 5.2

Чтобы записать $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}$

Этап 5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (t) \sin (t)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Этап 5.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

$\frac{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 8

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\cot (t) + \tan (t)$

Этап 9

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Запишем $\cot (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)$

Этап 9.2

Запишем $\tan (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 10

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 10.2

Чтобы записать $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 10.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (t) \cos (t)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 10.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (t) \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 11

Упростим каждый член.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Этап 12

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)} = \cot (t) + \tan (t)$ — тождество