Тригонометрия Примеры

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$ в виде $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ .

$(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Этап 2.2

Развернем $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x)) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\cos (2 x) \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (2 x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Этап 2.3.3

Добавим $\cos (2 x) \sin (2 x)$ и $\cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Этап 2.4

Перенесем $\sin^{2} (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.5

Переставляем члены.

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок $2 \cos (2 x)$ и $\sin (2 x)$ .

$1 + \sin (2 x) (2 \cos (2 x))$

Этап 2.7.2

Изменим порядок $\sin (2 x)$ и $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)$

Этап 2.7.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 + \sin (2 (2 x))$

Этап 2.7.4

Умножим $2$ на $2$ .

$1 + \sin (4 x)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$ — тождество