Тригонометрия Примеры

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$

Этап 1

Начнем с левой части.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\sec (u)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Этап 2.1.2

Выразим $\tan (u)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\sec (u) + \tan (u))$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выразим $\sec (u)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \tan (u))$

Этап 2.2.2

Выразим $\tan (u)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Этап 2.3

Развернем $(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.4

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок множителей в членах $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ и $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.4.2

Вычтем $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ из $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + 0 - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.4.3

Добавим $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ и $0$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (u)}$ на $\frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.5.1.3

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.5.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (u)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.5.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Этап 2.5.2

Умножим $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ на $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 2.5.2.2

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 2.5.2.3

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 2.5.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 2.5.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Этап 2.5.2.6

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos (u)}$

Этап 2.5.2.7

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)}$

Этап 2.5.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{{\cos (u)}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Этап 2.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $\cos^{2} (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Этап 2.8.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$ — тождество