Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = \sin (x) - \cos (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2

Умножим $\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ на $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{- \sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} \cdot \frac{- \sin (x) + \cos (x)}{- \sin (x) + \cos (x)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{(1 - \sin (2 x)) (- \sin (x) + \cos (x))}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 - \sin (2 x)) (- \sin (x) + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \sin (x) + \cos (x)) - \sin (2 x) (- \sin (x) + \cos (x))}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \sin (x)) + 1 \cos (x) - \sin (2 x) (- \sin (x) + \cos (x))}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \sin (x)) + 1 \cos (x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) - \sin (2 x) \cos (x)}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x) + \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) + \cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(\sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \sin (2 x)) - \sin (x) + \cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{\sin (2 x) (\sin (x) - \cos (x)) - (\sin (x) - \cos (x))}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.7.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + \sin (x) (2 \cos (x))}$

Этап 6.7.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Этап 6.7.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + \sin (2 x)}$

Этап 6.8

Сократим общий множитель $\sin (2 x) - 1$ и $- 1 + \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (- 1 + \sin (2 x))}{- 1 + \sin (2 x)}$

Этап 6.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (- 1 + \sin (2 x))}{- 1 + \sin (2 x)}$

Этап 6.8.3

Разделим $\sin (x) - \cos (x)$ на $1$ .

$\sin (x) - \cos (x)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = \sin (x) - \cos (x)$ — тождество