Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Этап 2

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3

Вычтем $\cos (x)$ из $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.4

Вычтем $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8

Объединим.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Этап 9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Этап 10

Умножим ${\sin (x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 12

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Этап 13

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Этап 13.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 14.3

Умножим $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 14.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Этап 14.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Этап 14.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 14.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 14.4

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 15

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ — тождество