Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan (x)}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в числитель.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 - \sin (x)}$

Этап 3.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) \cdot 1 - \sin (x)}$

Этап 3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ — тождество